Écriture des nombres et grandeurs physiques

Crédits :

  • P.Meyer - “TD 1. Unités et conversions ; notation scientifique” - IUT GB S1 - Avignon

  • Wikipédia

Notation scientifique

Mettre un nombre en notation scientifique consiste à l’écrire sous la forme :

± x . 10n

avec :

  • ± : le signe (optionel si positif)

  • x : un nombre décimal dans l’intervalle [1, 10[
    ⇒ Il n’y a donc qu’un seul chiffre (non nul) à gauche de la virgule.

  • n : un entier relatif

Exemples :

  • 342,19 → 3,4219 . 1O2

  • 0,0000567 → 5,67 . 10-5

  • -273,15 → -2,7315 . 102

  • 0,007 → 7 . 10-3
    ⇒ il n’y a pas de virgule dans ce cas là

  • 2,54 → 2,54 . 100

    100 vaut 1 (et non 0).

  • 68 → 6,8 . 101

Ordre de grandeur

Un ordre de grandeur est un nombre qui représente de façon simplifiée mais approximative la mesure d’une grandeur physique.

On utilise très souvent la puissance de 10 la plus proche du nombre pour l’exprimer. La notation scientifique permet donc de le connaitre immédiatement.

Exemples :

  • 3400 → 3,400 . 103 ⇒ l’ordre de grandeur est 103 = 1000

  • 0,06 → 6 . 10-2 ⇒ l’ordre de grandeur est 10-1 = 0,1

L’ordre de grandeur d’un nombre exprimé en notation scientifique est la puissance de 10 donnée par :

  • l’exposant si le nombre précédant la puissance de 10 est dans l’intervalle [1, 5[

    Exemples :

    • 5,9 . 103 → 104 (dizaine de milliers)

    • 1 . 106 → 106 (million)

    • -2,7315 . 102 → -102 (moins 100)

  • l’exposant+1 si le nombre précédant la puissance de 10 est dans l’intervalle [5, 10[

    Exemples :

    • 5 . 108 → 109 (milliard)

    • 6,8 . 102 → 103 (millier)

    • -7,2 . 10-1 → -100 (moins 1)

En informatique, plutôt que d’utiliser une puissance de 10, on utilise parfois une puissance de 1024.

Ex. : l’ordre de grandeur de la taille d’un fichier de 950 millions octets est de 10243=1 gibi-octets

Les ordres de grandeur permettent de tête de calculer le résultat approximatif d’un calcul et donc de vérifier que l’on ne s’est pas trompé avec la calculatrice.

Chiffres significatifs

Lorsqu’on écrit la valeur d’une grandeur physique, le nombre de chiffres avec lequel on l’écrit n’est pas anodin : il reflète la précision de la mesure. Ces chiffres sont les chiffres significatifs (cs).

Tous les chiffres d’un nombre sont significatifs sauf les 0 placés à la gauche du 1er chiffre non nul.

Exemples :

  • Si on demande d’exprimer la valeur de π (3,1415926535…​) avec 4 chiffres significatifs, on l’arrondira au millième. On obtiendra alors π ≃ 3,142

  • Le nombre 0,054 possède 2 chiffres significatifs car les 2 zéros à gauche du 5 ne sont pas significatifs

Lorsqu’on fait des conversions ou calculs avec des nombres, quelques règles s’appliquent quant au nombre de chiffres significatifs du résultat.

Règle n°1 :

Lors des conversions, le résultat doit avoir le même nombre de chiffres significatifs (cs) que la valeur de départ.

Exemple :

  • 0,1829km (4cs) → 1829m (4cs)

Règle n°2 :

Lors d’une multiplication ou d’une division, le résultat doit avoir autant de chiffres significatifs (cs) que la valeur qui en a le moins dans le calcul.

Exemples :

  • 2 (1cs) x 3,14 (3cs) = 6 (1cs)

  • …​mais 2,0 (2cs) x 3,14 (3cs) = 6,3 (2cs)

Règle n°3 :

Lors d’une addition ou d’une soustraction, le résultat doit avoir autant de décimales que la valeur qui en a le moins dans le calcul

Exemples :

  • 100 (3cs, 0 décimale) + 2,54 (3cs, 2 décimales) = 103 (0 decimale)

  • 100,2 (4cs, 1 décimale) + 2,54 (3cs, 2 décimales) = 102,7 (1 decimale)

Unités

La valeur d’une grandeur physique (force, distance, tension électrique …​) s’exprime avec une valeur numérique suivie obligatoirement d’une unité.

Le système international (SI) dispose de 7 unités de base.

Tableau 1. Unités de base du Système International (USI)
Grandeur physique Nom de l’unité Symbole de l’unité

Longueur

mètre

m

Masse

kilogramme
(⚠ pas le gramme !)

kg

Temps, durée

seconde

s

Courant électrique

ampère

A

Température thermodynamique

kelvin

K

Quantité de matière

mole

mol

Intensité lumineuse

candela

cd
Exemples :

  • la tour eiffel mesure 330m

  • la température de fusion de l’eau est 273,15K

Toutes les autres unités sont dérivées de ces dernières.

Exemples :

  • Le hertz (symbole Hz) est “l’inverse” d’un temps. On a donc 1Hz = 1s-1.

  • Le newton (symbole N) est l’unité utilisée pour exprimer une force. On le définit comme suit : 1N = 1kg.m.s-2

Les symboles d’unité sont invariables.

Exemple : On n’écrit pas 10 kms mais 10 km.

En revanche, les noms d’unités s’accordent.

Exemple : 1 newton → 10 newtons

Préfixes

Chaque unité — du système international ou non — peut être précédée d’un préfixe qui indique un multiple ou un sous-multiple de l’unité. Le préfixe indique donc par combien il faut multiplier l’unité pour avoir la valeur de la grandeur physique.

Préfixe péta téra giga méga kilo hecto déca

Symbole

P

T

G

M

k

h

da

Facteur multiplicatif

1015

1012

109

106

103

102

101
Préfixe déci centi milli micro nano pico femto

Symbole

d

c

m

µ

n

p

f

Facteur multiplicatif

10-1

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15
Exemples :

  • La distance de la Terre à la lune est de 384467km (→ 3,84467 . 103km donc 3,84467 . 106 m)

  • Les fréquences du WiFi sont 2,4GHz (→ 2,4 . 109 Hz) et 5GHz (→ 5 . 109 Hz)

Conversions

Lorsqu’on manipule des données numériques, il est fréquent de devoir les convertir. Exemples :

  • exprimer une distance en kilomètres plutôt qu’en mètres

  • exprimer une surface en hectares plutôt qu’en mètres carré

  • exprimer une vitesse en kilomètres heure plutôt qu’en mètres par seconde

  • exprimer un volume en litres plutôt qu’en mètres cube

  • exprimer une durée en heures, minutes, secondes plutôt qu’en secondes

  • …​

Conversions simples

Ce sont celles qui permettent de passer d’une unité de base à un multiple ou sous-multiple et réciproquement.

Exemples : m → km, m → cm, km→ m, cm → m.

Le plus simple et le plus rigoureux est de les effectuer en notation scientifique, notamment à cause des chiffres significatifs. Car on rappelle qu’une conversion ne change pas la précision d’une valeur (→ le nombre de chiffres significatifs ne doit pas être modifié par la conversion).

Exemple : 28 nm = 2,8.101 nm = 2,8 × 101 × 10-9 m = 2,8 · 10-8 m

Système sexagésimal

Le système sexagésimal — utilisant une base 60 — est principalement utilisé pour mesurer deux types de grandeurs :

  • le temps :

    • 1 heure = 60 minutes

    • 1 minute = 60 secondes

      1 heure = 60 minutes = 60 × (60 secondes) = 3600 secondes

  • les angles :

    • 1 degré = 60 minutes d’arc

    • 1 minute d’arc = 60 secondes d’arc

Le système sexagésimal est aussi employé pour les coordonnées géographiques (latitude et longitude) et certaines mesures astronomiques.

Pour convertir des grandeurs exprimées en système sexagésimal vers le système décimal ou inversement, on peut suivre ces méthodes :

► Du système sexagésimal au système décimal

On applique les formules suivantes :

  • heures décimales = heures + (minutes / 60) + (secondes / 3600)

    Exemple : 45h 54min 36s = 45 + (54/60) + (36/3600) = 45,91 heures décimales

  • degrés décimaux = degrés + (minutes / 60) + (secondes / 3600)

    Exemple : 15° 10' 30" = 15 + (10/60) + (30/3600) = 15,175 degrés décimaux

► Du système décimal au système sexagésimal

On applique les formules suivantes :

  • heures = ⌊ heures décimales ⌋
    minutes = ⌊ { heures décimales } × 60 ⌋
    secondes = ⌊ { { heures décimales } × 60 } × 60 ⌋

    En mathématique, ⌊ x ⌋ et { x } représentent respectivement la partie entière et la partie fractionnaire de x.

    Exemple : 45,91 heures décimales donne :
    ⌊ 45,91 ⌋ = 45h
    ⌊ 0,91 × 60 ⌋ = ⌊ 54,6 ⌋ = 54 min
    ⌊ 0,6 × 60 ⌋ = ⌊ 36 ⌋ = 36 sec

  • degrés = ⌊ degrés décimaux ⌋
    minutes = ⌊ { degrés décimaux } × 60 ⌋
    secondes = ⌊ { { degrés décimaux × 60 } } × 60 ⌋

    Exemple : 15,175 heures décimales donne :
    ⌊ 15,75 ⌋ = 15°
    ⌊ 0,175 × 60 ⌋ = ⌊ 10,5 ⌋ = 10 '
    ⌊ 0,5 × 60 ⌋ = ⌊ 30 ⌋ = 30 "

Conversions “composées”

Ces conversions concernent les grandeurs dont l’unité est composée c’est-à-dire constituée :

  • d’un produit d’unités de base. Exemples :

    • m2 → surface : m × m,

      1 ha (→ hectare) = 10000 m2

    • m3 → volume : m × m × m,

      1 l (→ litre) = 10-3 m3 = 1 dm3

    • Wh → énergie électrique : W × h

  • d’un quotient d’unités de base. Exemples :

    • m · s-1 (vitesse : m / s),

  • d’un mélange des 2. Exemples :

    • m · s-2 → accélération : m / (s × s),

    • m3 · s-1 → débit: (m × m × m) / s,

    • kg · m-2 → masse surfacique : kg / (m × m)

Ces conversions requièrent plus d’attention mais sont soumises aux mêmes règles que les conversions simples.

Pour les conversions d’unités de surface et de volume, on utilise souvent des tableaux de conversion qui prennent en compte les facteurs multiplicatifs pour passer aux multiples et sous-multiples de l’unité de base.

Exemples de conversions "'composées'"':

  • Convertir 125 cm2 en m2

    m2

    dm2

    cm2

    mm2

    0,

    0

    1

    2

    5

    Donc, 125cm2 = 0,0125m2 = 1.25 · 10-2 m2

  • Convertir 33cl en ml, l, dm3 et m3

    m3

    dm3

    cm3

    mm3

    l

    dl

    cl

    ml

    0,

    0

    0

    0

    3

    3

    0

    Donc, 33cl = 330ml = 0,33l = 0,33dm3 = 3,3 · 10-4 m3

  • Convertir 1 m2 en cm2 :

    1 m = 100 cm = 102 cm.

    Donc, 1 m2 = 1 m × 1m = 102 cm × 102 cm = 10(2+2) cm2 = 104 cm2

    Inversement, 1 cm2 = 1 cm × 1cm = 10-2 m × 10-2 m = 10(-2-2) cm2 = 10-4 m2

  • Convertir 72 km·h-1 en m·s-1 :

    72 km = 72000 m = 7.2 · 104 m

    1h = 3600 s = 3,6 · 103 s

    donc 72 km·h-1 = 7,2 · 104 / 3,6 · 103 = 2 · 101 = 20 m · s-1

    • Pour convertir une vitesse donnée en m · s-1 en km·h-1, il suffit de la multiplier par 3,6

    • Pour convertir une vitesse donnée en km · h-1 en m·s-1, il suffit de la diviser par 3,6

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