Codage des entiers naturels

✎ Travail n° 1 Principe de position

  1. Soit le nombre binaire 0010000|2, quel est le rang du bit ‘1’ ? Son poids ?

  2. Soit le nombre décimal 876543210|10, quel rang occupe le chiffre 7 (les centaines ? les dizaines de milliers? les millions ? les centaines de millions ?…​) ?
    Donner son poids.

  3. Soit le nombre décimal 65|10, déterminer le poids et le rang des bits qui permettront de le coder en binaire.

  4. Sachant qu’en décimal un nombre de 4 chiffres peut coder 10000 valeurs (→[0000…​9999]), combien de valeurs pourra-t-on coder sur 4 bits en binaire ?

✎ Travail n° 2 Octets et multiples

  1. Votre fournisseur fibre vous annonce un débit descendant de 500Mbit/s. Vous faites une mesure de débit réel et vous trouvez une moyenne de 460MBits/s.

    Quel sera le temps théorique minimal de téléchargement d’un fichier de 2.3Go ?

    Solution

    • Le débit étant donné en bits/s et la taille du fichier en octets, il faut tout d’abord convertir ces 2 données dans la même unité de base (en bits ou en octets). Si on choisit l’octet comme unité de base, il faut donc déterminer le débit en octets/s plutôt qu’en bits/s :

      débit = 460 Mbits/s = 460 x 106 bits/s = ((460 x 106) / 8) o/s = 57.5 x 106 o/s

    • Ensuite, on détermine la taille du fichier à télécharger également en octets

      taille = 2.3 Go = 2.3 x 109 octets :

    • On calcule enfin le temps de téléchargement :

      ttéléchargement = taille / vitesse = (2.3 x 109) / (57.5 x 106) = 40 s

  2. Vous achetez un disque dur dont la capacité de stockage est de 931 Gio (GibiOctets).

    Combien de DVD de 4.7 Go (GigaOctets) pourriez vous théoriquement stocker sur votre disque dur ?

    Solution

    • Il faut utiliser les 2 mêmes unités pour exprimer la capacité de stockage des 2 supports de stockage. Choisissons l’octet comme unité de base :

      • disque dur : 931 Gio = 931 x 1024 Mio = 931 x 1024 x 1024 Kio = 931 x 1024 x 1024 x 1024 octets = 931 x 10243 octets

      • DVD : 4.7 Go = 4.7 x 1000 Mo = 4.7 x 1000 x 1000 Ko = 4.7 x 1000 x 1000 x 1000 octets = 4.7 x 10003 octets = 4.7 x 109 octets

    • Le nombre de DVD stockables sur le disque dur est alors la partie entière du quotient entre la capacité du disque dur et celle du DVD :

      nbDVD = ⌊ (931 x 10243) / (4.7 x 109) ⌋ = 212

      le symbole ⌊ ⌋ est utilisé en mathématiques pour désigner la partie entière d’un nombre.

✎ Travail n° 3 Conversion Décimal ⇆ binaire

  1. Convertir les nombres suivants en binaire :

    • 11|10

    • 29|10

    • 38|10

    • 113|10

    Solution

    • 11|10 → 1011|2

    • 29|10 → 11101|2

    • 38|10 → 100110|2

    • 113|10 → 1110001|2

  2. Convertir en décimal les nombres binaires suivants :

    • 101|2

    • 1101|2

    • 10101|2

    • 110011|2

    Solution

    • 101|2 → 5|10

    • 1101|2 → 13|10

    • 10101|2 → 21|10

    • 110011|2 → 51|10

✎ Travail n° 4 Conversion Binaire ⇆ Hexadécimal

  1. Convertir les nombres binaires suivants en hexadécimal

    • 1001|2

    • 1110|2

    • 1000 1010|2

    • 101 1100 1111|2

    Solution

    • 1001|2 → 9|16

    • 1110|2 → E|16

    • 1000 1010|2 → 8A|16

    • 101 1100 1111|2 → 5CF|16

  2. Convertir les nombres hexadécimaux suivants en binaire puis en décimal

    • 13|16

    • 1A|16

    • 12B|16

    Solution

    • 13|16 → 0001 0011|2 → 19|10

    • 1A|16 → 0001 1010|2 → 26|10

    • 12B|16 → 0001 0010 1011|2 → 299|10

✎ Travail n° 5 Conversion Binaire ⇆ Octal

  1. Convertir les nombres binaires suivants en octal

    • 101001|2

    • 10010110|2

    Solution

    • 101 001|2 → 51|8

    • 10 010 110|2 → 226|8

  2. Convertir les nombres octaux suivants en binaire

    • 750|8

    • 640|8

    Solution

    • 750|8 → 111 101 000|2

    • 640|8 → 110 100 000|2

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