La logique combinatoire.

Pour illustrer le concept de variable logique, imaginons que vous disposiez d’un capteur de température et d’un capteur d’hygrométrie. Ces deux capteurs sont indépendants et fournissent des valeurs de deux grandeurs physiques différentes et indépendantes.

En général, de tels capteurs fournissent des valeurs analogiques. Imaginons, à présent, que vous définissiez une variable a de la façon suivante : si la température est supérieure à une valeur de seuil, 15° C, par exemple, cette variable est à 1 (ou Vrai, ou Haut). Dans le contraire, si la température est inférieure à ce seuil, la variable est à 0 (ou Faux, ou Bas).

De façon analogue, vous définissez la variable b relativement à l’hygrométrie comparée à une valeur seuil.

La porte NON, appelée aussi porte inverseuse ou simplement inverseur, possède une entrée unique, notée ici a.

La sortie est notée:

sa fonction est conforme à la table de vérité ci-dessous :

On dit aussi que la sortie est complémentée. La porte NON est la fonction de complémentation.

Cette porte, pour très simple et basique qu’elle soit, est cruciale puisque nous verrons plus loin que dans les expressions algébriques qui décrivent toute fonction combinatoire, cette fonction ou opération de complémentation est omniprésente.

La représentation symbolique graphique de cette porte existe selon deux normes qu’il faut connaître :

La porte ET ou AND à deux entrées, notées ici a et b , peut être décrite comme suit : La sortie est notée:

la sortie est à 1 lorsque les deux entrées sont à 1.

Cette fonction, ou porte, est ainsi définie en langue naturelle. Il est donc aisé d’écrire sa table de vérité :

Avec les mêmes notations, la sortie est notée:

La sortie est à 1 si une entrée au moins est à 1.

Là encore, la définition de cette porte élémentaire est donnée en langue naturelle.

La table de vérité est immédiate selon :

En combinant la porte ET*et la porte *NON, on définit une nouvelle fonction logique élémentaire, la porte NON-ET plutôt désignée par son équivalent anglais, la porte NAND. On l’obtient par l’équation:

Pour obtenir sa table de vérité, on commence par faire le ET logique entre les deux entrées, puis on complémente le tout. On obtient :

De façon analogue, on peut introduire la porte NON-OU ou NOR, comme combinaison de la porte OU et de la porte NON. Elle est ainsi définie par l’équation

Pour obtenir sa table de vérité, on commence par faire le OU logique entre les deux entrées, puis on complémente le tout. On obtient :

La porte XOR est définie en langue naturelle par la définition suivante : la sortie est à 1 si une entrée et une seule est à 1. On obtient facilement la table de vérité :

Pour obtenir sa table de vérité, on commence par faire le OU logique entre les deux entrées, puis on complémente le tout. On obtient :

Exercices 1

Donner les équations de S1 et S2

Rechercher sur un brouillon et vous pouvez ensuite vous aider de la correction.

Exercices 2

Exercices 3

Ce type de décodeur permet de faire correspondre à un code présent en entrée sur n lignes une sortie et une seule active parmi les N = 2ⁿ sorties possibles.

On le désigne aussi par décodeur m lignes vers n lignes.

Pour comprendre le principe d’un tel décodeur, étudions le décodeur 1 parmi 4 ou 2 vers 4:

On peut citer comme exemple le double décodeur vendu sous la référence 74LS156 dont le brochage et la table de fonction sont donnés à la figure suivante:

Un multiplexeur permet de sélectionner une entrée parmi 2ⁿ pour transmettre l’information portée par cette ligne à un seul canal de sortie.

La sélection de l’entrée se fait alors à l’aide de n lignes d’adressage (commande).

Pour comprendre le principe d’un multiplexeur, étudions le multiplexeur 4 voies suivant:

On peut citer comme exemple le multiplexeur 8 vers 1 vendu sous la référence 74LS151:

Il existe de nombreuses autres fonctions réalisées à partir de ces portes élémentaires comme les démultiplexeurs, les comparateurs, additionneurs…​

Vous trouverez avec ce lien une liste de quelques fonctions.

Liste de quelques fonctions logiques.

Il faut bien comprendre qu’elles sont les briques de base de notre technologie actuelle.

Cependant les avancées de la miniaturisation ont permis d’intégrer toujours plus de ces fonctions sur une même puce. Cela a permis la création de microprocesseurs et de "system on chip", mais cela est une autre histoire que nous vérons dans les prochains parcours de formation.

Serrure d’un coffre

Quatre responsables d’une société (A, B, C et D) peuvent avoir accès à un coffre. Ils possèdent chacun une clé différente et il a été convenu que :

Donner l’équation logique de la serrure de coffre S.

Amplification sonore

Les trois haut-parleurs d’une salle de cinéma (a, b et c) peuvent être branchés sur un amplificateur qui possède deux sorties : la première d’impédance 4 Ω (S4) et la deuxième d’impédance 8 Ω (S8).

Déterminer les équations logiques des sorties S4 et S8 en fonction de a, b et c.

Configuration d’une machine outil

Pour actionner le moteur M de la machine il faut :

En marche normale, la mise en fonctionnement de la machine automatique impose l’ensemble des conditions suivantes :

En marche réglage cette machine fonctionne :

0.X=0

1+X=1

1.X=X

0+X=X

X+X=X

X.X=X

(a+b) + c = a + (b+c) = a+b+c

(a.b).c=a.(b.c)=a.b.c

a+b=b+a

a.b=b.a

a.(b+c)=a.b+a.c

a+(b.c)=(a+b).(a+c)

Théorème 8 : simplification

a+a.b=a+b

a.(a+b)=a.b

Théorème 10 : lois de De Morgan

Exercices:

Le transistor MOS est un composant actif ayant 3 broches principales nommées Gate (appelée Grille en français), Drain et Source.

Pour des applications numériques, il fonctionne comme un interrupteur commandé par la Grille et permettant au courant de passer de la Source vers le Drain.

Il est soit en mode ON (le courant circule de la Source vers le Drain) soit en mode OFF (aucun courant ne circule dans le transistor).

Il existe deux types de transistors : le NMOS et le PMOS.

Cette technologie permet de réaliser simplement l’ensemble des fonctions logiques que l’on retrouve à la base des circuits numériques.

L’inverseur est probablement la porte logique la plus simple et la plus utilisée dans la conception de circuits numériques.

L’inverseur CMOS est constitué de deux transistors, un NMOS et un PMOS, connectés en série entre l’alimentation qui constitue le 1 logique et la masse qui représente le 0 logique.

En résumé :

Toutes les fonctions sont constituées d’un assemblage de transistors MOS. Voici quelques exemples, vous pouvez vous entraîner à déterminer le fonctionnement des transistors en suivant la table de vérité.